सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके और बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|=0$.

(N/A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम सारणिक को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & a & x \\ y & b & y \\ z & c & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & a & a \\ y & b & b \\ z & c & c\end{array}\right|$.
प्रथम सारणिक में,स्तंभ $1$ और स्तंभ $3$ समान हैं $(C_1 = C_3)$। अतः,इसका मान $0$ है।
द्वितीय सारणिक में,स्तंभ $2$ और स्तंभ $3$ समान हैं $(C_2 = C_3)$। अतः,इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 0 + 0 = 0$.